模糊拓扑学,孟广武,PDF电子书下载,176MB,网盘资源

内容简介

模糊拓扑学是在分明拓扑学基础上，以模糊集作为基本构造单元而逐步发展起来的一门学科。它不仅继承了传统拓扑学所具有的抽象性和深刻性，同时也展现出模糊集合所特有的层次结构特征。本书采用层次闭集作为核心研究工具，对模糊拓扑理论进行了系统阐述。全书内容涵盖基础知识、层次闭集与连续性的相关概念、层次拓扑空间的构建、层次闭包空间的性质、层次连通性分析、层次分离性探讨、紧致性以及层次仿紧性等专题。

本书适用于高等院校拓扑学方向研究生课程教学，亦可为从事模糊拓扑领域研究的专业人员提供参考价值。

第0章 基础知识概述

本章旨在介绍与层次拓扑空间密切相关的若干基础概念，内容涉及格论的基本原理、L-集合（即标准的L-模糊集合）及其对应的L-拓扑结构等相关内容。所有结论仅作陈述，不附证明过程；如需深入了解，建议查阅文献［6］。此外，书中还引入了L-拓扑中的和空间理论，并在后续章节中持续讨论其可和性质。

0.1 格的基本定义

定义0.1.1 设X为非空集合，*表示X上的某种二元关系。若满足如下条件：

• *具备自反性，即对于任意元素x∈X，有x*x成立；
• *具有传递性，即若x*y且y*z，则x*z也成立；
• *满足反对称性，即当x*y与y*x同时成立时，必有x=y。

则称*为X上的偏序关系，相应的结构称为偏序集。

定义0.1.2 若*构成偏序集，元素a被称为集合A的一个上界，前提是A中每个元素均小于或等于a。若A存在最小的上界，则该上界称为A的上确界，记为sup A或∨A。类似地，可以定义下界与下确界，分别记为inf A或∧A。

定义0.1.3 若任取偏序集X中两个元素a与b，它们的上确界a ∨ b与下确界a ∧ b均存在，则称X为格。此时，a ∨ b可简写为a∨b，a ∧ b可简写为a∧b。若对于X的所有子集，其上确界与下确界始终存在，则称X为完备格。特别地，在完备格中必然存在最大元与最小元，通常分别记为1与0。进一步地，空集的上确界恒为0，下确界恒为1。通常情况下，格用字母L表示。

定义0.1.4 设*为偏序集，A为其子集。

1. 规定A中元素之间满足特定顺序关系；
2. 若对任意a ∈ A及x ∈ X，只要a ≤ x便有x ∈ A，则称A为上集；
3. 若A中任意两元素a与b，都存在c ∈ A使得a ≤ c且b ≤ c，则称A为上定向集。

相应地，可给出下集与下定向集的定义。

定义0.1.5 设L为完备格，F与I分别为L的非空子集。

1. 若F为下定向集且满足一定条件，则称F为L中的渗透基；若F同时为上集，则称其为L中的渗透。
2. 若I为上定向集且满足另一组条件，则称I为L中的理想基；若I同时为下集，则称其为L中的理想。

定义0.1.6 设L为完备格，映射*：L→L满足以下性质：

1. *是对合映射，即*(*x) = x；
2. *是逆序映射，即若x ≤ y，则*(y) ≤ *(x)。

则称*为L上的逆序对合映射，简称逆合映射。

定义0.1.7 设L为完备格，映射*：L→L满足如下条件：

1. 对任意子集M ⊆ L，均有*(∨M) = ∧{*x | x ∈ M}；
2. 对任意子集M ⊆ L，均有*(∧M) = ∨{*x | x ∈ M}。

则称映射*满足De Morgan 对偶律，上述两个等式即称为De Morgan 对偶律。

定义0.1.8 设X为偏序集，α ∈ X称为X的最大（小）元，若不存在不同于α的元素b ∈ X使得α < b (或b < α)。若A为X的非空子集，且A中任意两个元素均可比较大小，则称A为X中的链，又称全序子集。

定理0.1.1（Zorn引理）设X为偏序集，若X中每个链都有上界，则X中至少存在一个极大元。

定义0.1.9 设L1与L2为完备格，f：L1→L2为一映射。

1. 若x ≤ y蕴含f(x) ≤ f(y)，则称f为保序映射；
2. 若x ≤ y蕴含f(y) ≤ f(x)，则称f为逆序映射；
3. 若对任意集合M ⊆ L1，有f(∨M) = ∨{f(x) | x ∈ M}，则称f为保并映射；
4. 若对任意集合M ⊆ L1，有f(∧M) = ∧{f(x) | x ∈ M}，则称f为保交映射。

显然，保并映射与保交映射均为保序映射。

定义0.1.10 设L1与L2为完备格，若存在一一对应的映射f：L1→L2，使得f与其逆映射均保持序关系不变，则称f为同构映射。此时称L1与L2为同构完备格，记作L1 ≅ L2或f：L1 ≅ L2。